☛ Sphère circonscrite à un tétraèdre

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

Soit $\text{A}(0;1;-2)$ ,  $\text{B}(4;5;-2)$ ,  $\text{C}(4;1;0)$  et  $\text{D}(2;3;2)$  quatre points.

1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre  $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ .

2. Déterminer des  équations cartésiennes des plans médiateurs des segments  $[\text{A}\text{B}]$ ,  $[\text{B}\text{C}]$  et  $[\text{C}\text{D}]$ .

3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera $\text{G}$  et dont les coordonnées sont  $\text{G}(2;3;-1)$ .

4. Calculer les longueurs  $\text{G}\text{A}$ ,  $\text{G}\text{B}$ ,  $\text{G}\text{C}$  et  $\text{G}\text{D}$ . Que déduit-on pour les quatre points $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ et $\text{D}$ ?

Solution

1. On démontre que les trois vecteurs  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}(4;4;0)$ ,  $\overrightarrow{\text{A}\text{C}}(4;0;2)$  et  $\overrightarrow{\text{A}\text{D}}(2;2;4)$  ne sont pas coplanaires. 
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$ et $\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$ sont non nuls, on cherche donc  $a$ et $b$ réels tels que  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}=a\overrightarrow{\text{A}\text{C}}+b\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$ . 
Ces réels vérifient donc  $\{\begin{array}{l}4=4a+2b\\ 4=2b\\ 0=2a+4b\end{array}$ .

La deuxième équation donne  $b=2$ .

Puis, en remplaçant dans la première équation, on obtient :  $a=0$ .

En remplaçant la valeur de $b$ dans la troisième équation, on obtient :  $a=-4$ .

Le système n'admet pas de couple solution. Donc les trois vecteurs sont non coplanaires.

2. Plan médiateur du segment [AB]

Soit $\text{I}$ le milieu du segment $[\text{A}\text{B}]$  :  $\text{I}(2;3;-2)$ .

Le plan médiateur est dirigé par  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$  et passe par  $\text{I}(2;3;-2)$ .

Donc une équation cartésienne de ce plan est de la forme :  $4x+4y+d=0$ .
Avec le point  $\text{I}$ , on trouve  $d=-20$ . Une équation cartésienne de ce plan est donc :  $x+y-5=0$ .

En procédant de même, on trouve que le plan médiateur du segment   $[\text{B}\text{C}]$ a pour équation  $-2y+z+7=0$  et que le plan médiateur du segment  $[\text{C}\text{D}]$  a pour équation  $-x+y+z=0$ .

3. On résout le système :  $\{\begin{array}{l}x+y-5=0\\ -2y+z+7=0\\ -x+y+z=0\end{array}$  par combinaison.
En ajoutant la première et la troisième équations, on obtient :  $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -2y+z=-7\\ 2y+z=5\end{array}$ .
En ajoutant la deuxième et la troisième équation, on obtient :  $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -2y+z=-7\\ 2z=-2\end{array}$ , ce qui donne, de proche en proche,  $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=-1\end{array}$ .

On vérifie que ce triplet est bien solution du système.
Il correspond aux coordonnées du point d'intersection des trois plans :  $\text{G}(2;3;-1)$ .

4. On trouve  $\overrightarrow{\text{A}\text{G}}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ , donc  $\text{A}\text{G}=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ .
De même, on trouve : 

• $\overrightarrow{\text{B}\text{G}}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$  puis  $\text{B}\text{G}=3$  ;
  
• $\overrightarrow{\text{G}\text{C}}\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$  puis  $\text{G}\text{C}=3$  ; 
  
• $\overrightarrow{\text{G}\text{D}}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$  puis  $\mathrm{GD}=3$ .

On a donc  $\text{G}\text{A}=\text{G}\text{B}=\text{G}\text{C}=\text{G}\text{D}$ . Les points  $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ et $\text{D}$  sont sur la sphère de centre  $\text{G}$  et de rayon  $3$ .

Remarque

$\text{G}$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ . C'est l'équivalent, dans l'espace, du centre du cercle circonscrit à un triangle dans le plan.